Verse and Dimensions Wikia
Advertisement
Verse and Dimensions Wikia

Home, Recreational monocosm


Tall images showcasing nontrivial zeros of the Riemann zeta function displayed at a large size.

The Riemann Hypothesis

has zeros in plenty of places. Every negative even integer (-2, -4, -6, -8, -10, ...) is a zero of (these are the "trivial zeros") but there are also a bunch of other ones that are not integers such as the one approximately 0.5+14.13i or so. Those are the nontrivial zeros. Every single nontrivial zero found, and people already have found actual trillions of them, has a real part of 0.5. The line of all complex numbers with a real part of 0.5 is called the "critical line".

The Riemann Hypothesis states that every single nontrivial zero is on the critical line. Though literally every single one of the trillions upon trillions of nontrivial zeros ever found being on the critical line, it hasn't actually been proven that the Riemann Hypothesis is true yet and the problem has been unsolved since its proposal in 1859. It would be neat if it was true though, since it being true implies pretty neat things. The Riemann Hypothesis is one of the Clay Math Institute's Millenium Prize Problems and should one figure out if it is true or not, the CMI would offer $1,000,000.

Riemann zeta function

38 nontrivial zeros displayed

Complex ζ(z) dc 38.png
About this image

102 nontrivial zeros displayed

Complex ζ(z) dc 102.png
About this image

List of the first 50 nontrivial zeros

Up to 1,000 decimal places each.

Imaginary part of th nontrivial zero
1 14.134725141734693790457251983562470270784257115699243175685567460149963429809256764949010393171561012779202971548797436766142691469882254582505363239447137780413381237205970549621955865860200555566725836010773700205410982661507542780517442591306254481978651072304938725629738321577420395215725674809332140034990468034346267314420920377385487141378317356396995365428113079680531491688529067820822980492643386667346233200787587617920056048680543568014444246510655975686659032286865105448594443206240727270320942745222130487487209241238514183514605427901524478338354254533440044879368067616973008190007313938549837362150130451672696838920039176285123212854220523969133425832275335164060169763527563758969537674920336127209259991730427075683087951184453489180086300826483125169112710682910523759617977431815170713545316775495153828937849036474709727019948485532209253574357909226125247736595518016975233461213977316005354125926747455725877801472609830808978600712532087509395997966660675378381214891908864977277554420656532052405
2 21.022039638771554992628479593896902777334340524902781754629520403587598586068890799713658514180151419533725473642475891383865068603731321262118821624375741669256544711844071194031306725646227792614887337435552059147397132822662470789076753814440726466841906077127569834054514028439923222536788268236111289270057585653273158866604214000907115108009006972002799871101758475196322164968659005748112479386916383518372342780734490239101038504575641215958399921001621834669113158721748057170315793581797724963272407699221125663441561823605180476714422714655559673781247765004555840908644291697757046381655177496445249876742370366456577704837992029270664315837893238009151146858070430828784147861992007607760477484140782738907003895760433245127827863720909303797251823709180804230666738343799022825158287887617612661871382967858745623765006662420780814517636976391374340593412797549697276850306200263121273830462939302565414382374433344022024800453343883072838731260230654753483786801182789317520010690056016544152811050970637593228
3 25.010857580145688763213790992562821818659549672557996672496542006745092098441644277840238224558062440750471046149055778378299851522730801188133933582671689587225169810438735512928493727191994622975912675478696628856807735070039957723114023284276873669399873219586487752250099192453474976208576612334599735443558367531381265997764529037448496994791137897722066199307189972322549732271630051591619212797740876600067291498308127930667027350849516001984670542469491796695225514179319665391273414521673160233737754489414641711937848957499751411065856287969007670986282721864953729632392584034913871430489335889461149586242390368556175189359878735685683089271444468756375337019130417377142535868018531867896375326868632660719766920532953347850670798287711867494428143972542551653196797799127226844589692794085995072279605136120213696806476533976269691774251249095257214003855886494422730332216278403670865759210329078986615602048427519273514192759701784916608441107482155912831074931422640278339513428773126644105168571016344289902
4 30.424876125859513210311897530584091320181560023715440180962146036993329389333277920290584293902089110630991711527395499117633226671186319391807225956714243341155906854681365580724173498447249593190408116323150197023484841630221400985620739718392018133021868063298225719752250023746856136974712496442622977924504057490671534572788651506516083246879706281778104577772258789192373862900112760309735680890492530064612892727530919447902003589389819427495511323917384271638108400499211198006924387188729695970002910005477427068908168462593483850770799656037339265916317859005583905968157207307962526205494009595158923181955070031204385472912847073737931700052460469858203860095171051337905912538151203525649548068653947457306442869841989012474276200924947673637581472033220866876014572657774071196727343504792345035161879811455794448693261212914417916583251901867849867644777729648215979712565041026341481014213352401333833266814485615449144877122011828407076516476221131280807023768331017097022722833154052850963731871619582513781
5 32.935061587739189690662368964074903488812715603517039009280003440784815608630551005938848496135348724549602525280597581513579237782857754506037653011472682109825272713659478166079186507881170353836765474601738548120651787886596466594728787186027971658042677648544066692909393193115645508391751300790279989562656683920024874165169990868845012876404250956064144893023774797053252782409947751765944607446809874067065338290958915614204800224198408375141584435237806584753908207901246070504560100102257438966836495384237704204909559898148908828725637297965721416526317785755201155077784057950147720725798214042130968637793635364185940239585699090026826663214819343540824642411198675065226034566669947805384925779001837592451461820738574360137810637371561037862089022277413320417734643423628639629736284445542467946705724129455369859667727596107799501092598501136571980327345054062391125982107996408750156764769596419463847304800451155728883660650892331803497715016444348320656123479340307063230555187773781024210561808202609296218
6 37.586178158825671257217763480705332821405597350830793218333001113622149089618537264730329104945823803474577747746192235379940965022263936285624822047483688089003667890354537553777903190905644099375838721275634312643051507490897122077467801551204327992986651432331546548850586795060341362549259966882096153281156037995262203235784878311073776146230149105579379015677163411251265371295650176744886452149832702011984494315326208033153177607464795075040560820830213633950862288220551335769555803593746481598709080074079627217716472274070573805968351484679530321727608711240067379431833670679071307878785388574357730695112597437885627621434891374075997674405555785944574435456054998502810248039697965044333212466041270340603151340824120398066920929558272133080574742240379526941447560387171391417722823862277333504075259600092839740678450396055572399332457099842085439308578390827058000428133328048210695855943079835422972275055349593563168097527417304301276517837886885878256674412456445093066944548079936612500679148846677611635
7 40.918719012147495187398126914633254395726165962777279536161303667253280528720071282996003719889546875503665519676945467944917136494898599175653436753310504809152168754487522779220070007397194841780564455223010528554611979757902870894436727404629995409604733040969526221562845948429944927846184578787761632678985436277253862556903038183973270514950196665527710349743748816695990528591030482062963647832880205221997318825658012351221409067191689558103853574341088997924759060345757218996039302094745965584290912923566370707188285584612269389815842552303110715447005534211539012118024755248920241853900700081118836575541150867856067645344511425702035874610038012461701591217504665556870944439231103353127472397717165752437859003356150461715730024647846977131484467042381635320368498421857402113983354914271267702876679477362046933993378305961890877026470225234443299092913750722232251216747711999592944915975281247409735591880537231769464032357313745507675771706351076181783304223322787045299728779311668679391883240023041678498
8 43.327073280914999519496122165406805782645668371836871446878893685521088322305053626456349371063190933554867608492626802447167012325854752123534663067852863346174582283863318197814787695734460590477768591146490300175468026853027496697613091256439069665846196373054906998801694436519162899527326977331224740290290229705567643252015673036580406818855674948098017853704975815364307149372761017706878678433545631903018125851200714770241073205571081343008914241615264552855237368821808322357074175925403682783202820844581402829363318254760866548677482059019431583910734195687649048970000428892587215224344700055116338731895921977292871405903268732616775584130881875117328095378031093324495736965067920017652435206447838972973982815035687933391083370000189268961708105181166948747137174902834881814502124103634888793822523029185271305382416631225364422580899589380998557493636802859408915387487451045248123666445118287217598562223212440326052361942860828927582355882964573021314908449408119052316779053689263761269727183964342502557
9 48.005150881167159727942472749427516041686844001144425117775312519814090216416308281330335372305400997715502977702602021626521662708135972931666387875848360415749514542594393171912466407742182807931556592203395015105544159539882294586912180255358282132516378822242517229114957339065901571071341609546717615622019577430001371901180892813940745566841311897293679338884843169548510888134892622771079386125445306555452581604302173171394016676219848596815386025310508650393065848664659529280290536587847109504846578979845752160747031322459928624126668913618845629867535245575085897659709700248488816292204313785588540434570627638376649293613060600214542140480454075879271396728375556083478743824757976591799995228735986325938128949255347158323722000074022111362522052401012609727553460151228461942191877772697391549909150902318606173114811362589313765088366719725261497861102030567227613320075475161086258162488087245079880549023530434510965723869519500307655309517952690567582392409346742729337769667984514323479651785659781012585
10 49.773832477672302181916784678563724057723178299676662100781955750433511611515739278732707507400931330070781628021561131224357999164116355314075451490589915984746411164163782537833166539297285795485833915806394663259736444259036153975727355045500020189054770646843216398460410248730439673334416134296584582373561104085286836170987108253943806072157945484969949480065409184396865322229487965987165345448109651729324403405232091131962150505954273947996858231814508704434773134221635876244264109437986101224081986059357610015828371261358048082733387757025657831644622198428867284811970016458730887608759017366197717169939252440040002704948418830430029679322319955569628185655747157275942398769858510515539714341772965634674500030547079904013941493421313358102814503748399158255171526050338714846544268976795011253932374055783313514741744854577693323020963097267410032271370156512511527718777100048072946537052793939826953074619178922511068291080412495755121845851660686228889552792927764105240258458631087265392319699472946086295
11 52.970321477714460644147296608880990063825017888821224779900748140317564950304188054137587827094399298803638844775355020280305242142526759718852426729501802899064158884404381357390147898876805601360715184610972725663572678982128874175943840112488882136436086401051818563432220986937961340888420115494236460455276268950852744478613505141202927208507860796499787911644833496246315573764199453751933652840294380978108956576421203896903687370481919718627137671317419749396133269854256578464831198077078267156524968563268104475474900052648115776044246214651286502321748406559148911458922289997095898574003746353078846368818958279125659506201459684206743431171746671164326328999484488107227524047065005394806556803123856288675947364461841065824200330023776589577654842300695926465706803975286536653965330465194390645186172870946450383808883234920314428485578638537642852140837219691328838062211432628271565436562767613276667483291737345439668735430085880540546291402438456489493204139845476289822490179564066261805685631720129786565
12 56.446247697063394804367759476706127552782264471716631845450969843958475280274505666903011314274852387478971878833682458279533852415440494142677331535851389912303143950977674796418428215141590453279767897067421802190238351965802772317149622477373168417648321033460697211675520831682748713648990126222250598880229523569106175457831955605625499680933974877960385542193898869248985287351051421261197431092358134099013604709239141031109009433319473584228704879584556102786577358526283178106677724885875960578484157909151683055339871132011114436492678493715500047075086672424925572954131702615463031837387640836936950186723039068836450550007327867980999870065617695185049360601192737525309533662000989316467491978423470677395500748300974134269685945837242201426878692945161648904392108877179588832242892099773881781246894312187501531124487772171647170947868970947304805323847847276172776766067483112107631211790935473076225276136187306347951724637196712061707978317457841616417107687158660013365258527155967283425409387438679212449
13 59.347044002602353079653648674992219031098772806466669698122451754746800152699629811838102487074633548438521958547439243543230918332335569418407300562121738989907621132217768239740056790572042452849526440849681472733038623910280825310642382206849929802500376003172490143770767704346845812728985850745087748420569208096615178589057959523006983053724332333663472331206556204934291015260598686066619048070703221177721893461199933605757933822661462457047598564940384489397956778352154200137916652305382822464848056286397772933081641275862409791391494945884992124254694810686037953826475310083136880636641076605666945474441535613329645619174423369479643126531804294010965039525227559520795006567279336501268658748905330228091635965020782369955967786594161281969630385290278982508036510330745304419563188328073715721694740391394873684888300733513206718053126169663265305833321274938349369740133741459513946477564549783261202953121314681877483549199357103776161517083628727899347884080671159953910723237815412696221153705577228585649
14 60.831778524609809844259901824524003802910090451219178257101348824808493667294920538430841670394343356569864470335886897450307479486387757151236989677767181392903972554893663963609096708774122166838869036113823238137329669465456300338044996481742040533940870976129782940984400188964842502151111133539340835867006606096578282320208221731557647190053496799727283085923495402643075225018443792153637195364840597773110896607865925425478166991323631938667833621762047903805963775756066867271977573019725620641617070717881201984851940399219428181037789558281013544058327568129857313384547062445399567257041697905384773885295022189922925585387639265939894973177755252302791322676359672466519865985965716901132288333512324701288146549659734648733596733889232923759116870485124568436793317977370468720140175565722622172619376184888086010176402135442138372093901721196117386295372755754110553487919760743047599818014270992473679191478534947036556659099682425949979285417308853699635884621412843441579829363936451921154503226768323665123
15 65.112544048081606660875054253183705029348149295166722405966501086675343232668685384416774784438659471425896927751662036727792212579760406526710341712839335650466395474113792407738729745594267472413801520291555970661333824803985659298979057804375398625149837486331063458826984693672376060806786223089046279404010250827138638049301763338402226589739859732802755781368511117109763224351292112576574865375509270427021177990914098939023566714960805022355015948341568367529956845298905085088674588430969696692059922085750022986845145268896140456464783480228632260506470176668372559737163741256526487125848152676462750450304365262441290757729753934251933879570045116745923042841923035167267716672756004106536974278267866541063812451435638860089854085737654856110158637493619464000376281191771905035910634753112955650254927935702083940045117469305528656412508982759598261836524699698314147407660309343740846980458044034701255293332123418613818055529567556639834532121517308852126314102010110170914578039124142928133899740086613623443
16 67.079810529494173714478828896522216770107144951745558874196669551694901218956196983530293975085833034305554701005134859631029151896043171815867354023194548367379040086702914780981794419678446124381438361758449362432396595448051672339388685066004214583341246451635021345298388413847073026983988212589993826423870085245099897564429667355104289878620718854072588546515573973459707071676273108576334932180772579130003960886449741836868715353947764759128350375674332037097265984118710070440446053451664131052421556680265235785072265274438876785626696038697482052096822374418507817943850224433466786174237419767373787309963680688765295690311108804218807366754481244754126423472826840008964978766958987469469952222948151276077984728912688004788165878196172194802776783863053597521117816013422995841342604633581716447324616352745933784570730430336484481280084073724559292321162614130247542832542954781778971577652485927891091400797975856467160901917331051889540357656938483469207036091770874090798196914244237793474312960465161719018
17 69.546401711173979252926857526554738443012474209602510157324539999663387672274910419533344933178340356353748061584786789166256122868405335227015176432187466163867949293053330205635955993519803439585575951149993338354513925577815476563818784672545960927472810403977949465301956954113198287899441275390567299127186483274427161742404580758998172596532400771329115105700059633507489318776398578809627274125313730703486050666445397940404230923726906435472678042455592779768290482541588859320129640662501737686841432312955689915322050102403360348304793494170171385794877279048931560824211654484121519777177972349155112156370686643979889055753212470390757380586610609056618978691276590975660299730990890514703412420060488566164142937612261486963492359769796863933407019950195728585301788681956625221576313646680279951229456246227494907917846795039656017767699206080410822324119356123825002391567773007065401074770394762661359198236961182883729506234855468174962532618577365999928066108146023977496529241716431832460818788134835630122
18 72.067157674481907582522107969826168390480906621456697086683306151488407372399608348363525330412174532989157366583118830836423939323964808824558488883908559966767458883026748667191010101895350972098410313771672274863799585130686177614665616376998197197669271905364262584998184369329731220210017215416395486301758548012415863519695592893151923272111791165174080277360316696472824331009518236955764250295787473151203884754319753472903632760869531588040490159640781358830072069132830007220361644959698406819333476590718284182443211058553066580907396128791263351023890940041219029750091157739721366614804245906732824519405223742395049014342105916856145109620394666086341141283207680069777118300539680261625685207183611688073563664855004634873302936891337290063310993337412669550711033660962964462104424684671333751109235686272147335929875463001672771874443478254245459001442104651311737080519674798616116617535063002446065244825392505742634946337840098855132224309529578293821607770227239472724539770409131792951682759339844929414
19 75.704690699083933168326916762030345922811903530697400301647775301574197027706323608384037021834652798049944023687571004941299377457936923240324919083376086534299429539403011543428535887306752667532417416879534543957049641711755340566565827887197871118390689030240405738091182251987075000006401603759117221197628068776231453643432562273102760140785123571406712732371327300612168974875966764710215388394445911146311030535053974933630568264496513909943445091170178315452780762798464236397482211548344718763384623992318292397085481612509019074177672575428577670559441950731727047461777128106771816527866760625804473224284181811384369765863641702088501826914286557271757830441891394556842493793565722002357598861902102493142375562290110052780709080886377094342840807497709278058388075027628287061481671345250224534613796653218996060425514641725267850975168581757010398813876102074139793312211689814244076676024176863363672137102926551762356450984387409050719186387174232917044907073662920175339770114877282971583201457214164887129
20 77.144840068874805372682664856304637015796032449234461041765231453151139164253715089408288694699737759759056874412689862739401015043448714791318685067209262509692449500569598542876993525949529386655515907890732199648947712250820352478570207374012914861152103578929079678094268718586402341944783860346706430810880909426809869882058457679190768712226687326836014675913906597219780274184138815734306541730015512005219415994953054177649034287070792970549518522178103669138493110400289908763125838747967104934425409045729053716238542894539734697938404467517845653982842873996850493681944191593492637849172325367363215884466442942711922492108245169377647915815628834469485346686315856231243295323609538238676146113601842703432707855722562393513833974296170905761529531226860673673497802362080120843068941880544294812645599285786304342142860013808561146024088198620632042297490278719397603494739334898514673824383470963996162236863904616161107577611336626543223117952517771125313274971976990352450981517833496024699864255959028093118
21 79.337375020249367922763592877116228190613246743120030878438720497101541932677090974677451994612124109014771023779750384922652206861281156828604989206199709970777729349241193116002036546210829938880840595591024165836178958610962337370703795074070495164304475690853280666926618655173228169931294828478360202862803490247646424726799729387284332634383628679498838418894491711089737165416455496333704114154400493984706855811753017890603105118296573185573135346696061339024840566012640704135999561500670945543734223534031324396181168051898902903403770497215533001808053796224076169480865529924868274022835773560748385236594010125036441641139088681713752156567009344600198335439524870139087263766766023488607165861620323257974082497049161987413342205324829284332551819386397602705246791700763722091171053670040607336954316681544251161987389754932964386820464175476639079150107912316638712286268910890608385758562065991698091864906907118146357129962123335277141401039892296665852570788470147373858113102405285451703087823709621240231
22 82.910380854086030183164837494770609497508880593782149146571306283235929086356619075512563192334896818755254481761860100461233852807359574706971433497862880915545409209829902744647007546820535138230602538882436385604843742039067050280111496376921747082104450134056334429211126572475601858904750201748215549748547213195125193479678951287975411253239484602338329388134980206848937216850204264250309056404395393371604415437958809279859505591888303651481971352440868158769637264169441104758931971317075262356082073994618558833265382469388370004986481419937685933144650326403697988041473225617258868002876866036602248640131077429112590790286497528478168503567063434962995385140961764347945100789661299612101531666911126805186624629486792435006021033426362776656461831360740321656215694227198314230318031561342080125413685783092636639888303766029667579048491094809757291004908265664702841020854127757102603929175787723052494939434048863172519380405430299686906077603021369167778237807307169782226106174319793784464130845283261867668
23 84.735492980517050105735311206827741417106627934240818702735529689045271728930280598792282030639950912478478554075088661989321281371034295280006054511942423978663776813756466581268104384394522154432057778894394574342727787727883952817439702313827036819318154026673905272441631040317779985614352514255885222919683658202469881838256954758881362397092503189945867499837924832435515596124720935865465057442507678528077872678476447001036931282984758242173834673479680726278208192282828226781350466419117370953465571946404355222277134066013720509693053276295959678413788431648326881044566146850868996784941202788898257311336491237727832636724586657541210134160089316426682525604575083763939081725156115469207413386899039610890154763360165794723101988044813613933320786629558230803255757963111116566093310117049286193389483624084513716152795178150517384476433588623620717485947578125079069088082653119042667276884705397256714643022354282984442392626571692662314328068625229038414358696239994937766704856508746848597361811867145311082
24 87.425274613125229406531667850919213252171886401269028186455557938439691049524830750266257480795439517194288816351437489314442108562961394037741035181979215947528149692870552003205564874536761692673409850607301871755282328839765392981382632201004817540384551012563091756258441927279875513226118118257225037683258837771771739159467209898504515284197862221098949810919266789877944984427614877649057979327258114399810721571102946216925721420115728264819722552987693889287754343592978984706646433186143720097498002892444778645279738254364933463675265762944136263056179115224588429455456076262650688139292144517087796720006430188464975549150982286086079298204575215495898831885399541617577391129653877434023396765095200545395864482616084962946255241393638855965702241669348805294130313474148535556332189158707322209689977241066636891331201940688892418455319611764211999656602420759974478284434442896069402592636402462111184550157501327571448997286188618689700676296777796880632255408102027406665665441187270515332749063039401072547
25 88.809111207634465423682348079509378395444893409818675042199871618814013559182198439520793279503933064153393514217920973698829552912796435947430022616561789270621547005213034296606152586194041769538634530945503364017906804361782732047293903104050652975462272566220454237002694748322991711060120807226592762152718464656078715516747596277156935025449524613402429805860214583563456820971738674177274265862494749169298610068752635619844014549917115019165805602013934741385882124229542710375363168474405875930832403942779920133906718460255453283024618014428208865663708977899917432149250201981813496579335121294759332807248472614425190519096471035841076000763861611861536659125681999009980596322516671754000077174369098720298671118986376691318828257697454120764301049108692231167283155832123113384491478438291579873004577836605670023298350563636059900186781896029626130068789225642579028219958739556096255277764574917334397165046621424547503945017257833254095236249660565068801094676886019016431938169745190139252951446693548411384
26 92.491899270558484296259725241810684878721794027730646175096750489181028026058770889337863757668588640283024661016843427422259936018612364334742217775442178995087183066636621110090652035315937932294460105316717910280678253292701555365627555167553627695422676812992199613703595539576088496165229456577316092269076764232368993258987288250350039251668188783923557314202543375365742312114010851143251261276402875925792187797653267101899898038825870485970756514600947681754040575622687218133047895525745504995214166181546336433304690531412133147445421756679656894097230500033730257986122607988482583874498248381189316261515720564705170537421137326838953849630896249415830038961605000544103929147431180297199783523409837350473399668457080047682777180188208761202653935080225371562362484926674658349747547418315999776245057603888645765912179558283014646249646329707402165971716044967977642194381520124330652369601140025331583992922585276699523662548199094544114085415242673984094092172599542029317810094831633186947540953110110904392
27 94.651344040519886966597925815208153937728027015654852019592474274513482105324558440764774015299601081356793963325625513552431030499988345610749668560562821319379406435639476430477203568563969844806257700682596420954674889828191362131432868543031415038571883340946908814266815629253774305386867010117730459634464557511362281265512617999236619177575738608930832077025958158771683932869588968627527307774344086670734667466789268538102012429266015930454734701728008598323353763586550984395663511577001188984704193568614673309339888152582063648549068238548799378020701577006838050000122115027466586123956407188399009268906859246426455158519665386974756384780717420516776140411528292644043178550171150022300332883467109538100895641182834108252628568068916044611860944062160112523017381308797268199941457617451343979689042546881608920305325996126593283459569686176570398191125202466334282330220131399749191263872450573798769281182196080918490183361164607433238659851445934611491811650408205324883650088043557708622253438071786077618
28 95.870634228245309758741029219246781695256461224987998420529281651651106625360817921895426115572356404848078227696107038436820004132399583572462800673842634753268721603361842414181410227628118438633123962859199562127071750666199438966047720854104100726167006538346599921996282123307007145663134425926903927323508326922840583743118739616775470840076512104343209368725659075564145209852030131120079360430729801362883544498062800075058565581580934059095415920784246334048113266667026751481591532338606573810978808220277550533909110086630323909764186055382830501058993380012913454608933071284949980334801789954265876369456470765335257373456965314523350964437204923745040125778151706447517992003230390889131129251172790981227372432998445240532815862126130228576037271780021249950287357231383175765947854287063042212552029278788851218002320621364263418737133019391049299081071549814006272472416684542945807816170318299990790203568472033446171636104086957084651715181286938759390608544159369999217034924432691823123774006501258055562
29 98.831194218193692233324420138622327820658039063428196102819321727565547639765553187514528323281623209783398423387279352086102346004303295487472769977855705238853537393067246082664272869220412026895565835404106304786776157600607896199947761916040621044104428657079466798184430964070002146980386116437137481607649480404704479301626001392885594811303136793113211556553458315556594674163378458612762569666782138878786320497562067412642808718197542099514481036283472497423762176452886429410031189119266125703095904938997990006332829537404018395256487989204661585391603452271876293987998783193689884819902605315523081995296247909882614808475791034889663232456447905542123931461098573253793713047718676383128457218001381037705498559771661777779854101256937111837946463147095270217710818916279209506876852101603212124670037614568943977783912725410316757994138891493456333351703244591694463399373211696025717366664175610914820311991141221038313951101645186844039768090981742090638306106611783222953371754820261367109766364106259508557
30 101.31785100573139122878544794029230890633286638430089479992831871523014308272931235550890494520597185660627954762468836381462793150649506614176081243309195382388848939039265701191702638340187514965295534412206365830087649168464626518598267064779746825187820926960056222306419701010499362309942567902926696725739964169547942644102850408981471894317705680802943933100943641450514947962210637955712153257215505341893829143390059888796297655338051514690448486649068813074614701115706706725422301472167252626775474183839103146577911636531908914452180667905452816348257067893113102357656769815053749725507542140464995269066191517373594849351746570629604204928603072680202737982149328664567447162535749149035994962540939417008193967245264126071975780963692332531096614465364100774884170643229173676765440917473667722390502969783542858011328176045628179115847506969995235243562404830232843095615924404234446553656737020663940417856178078956078736258455069201591154543454795223325225254810551193284721748482559527977334395819351122225
31 103.72553804047833941639840810869528083448117306949576451988516579403652210830164880543814549849201689460089110699662922679114659230658923704225251393217739483289119854905370532033948294534948511316193147167931801001680834226178580626626599823521973054397696858452812247345802777185463776204082745096441763806250961600504810043771902259382828267131246768642720753098306123850952878021803877079031950647677212672957661288403974129219807717255773913554278978887694816019652335267170755381863311846909486750321828935043964505173665991124597253770162458499977045650627488382121670240719160661201606262555790074020223001482498405099972858361804949871793055850294039145395904789602410545817473574047064254299333183581787924768799560316572049527580479904191100721593792356413963768387615824136939857228956630230548864781450828935162484209254954792677949479957450018023614180524583700107010331375974459845150758554994607134550641565711613822382947387712342124850844374654615726566099336810040644930213234365990073855542458653893947561
32 105.44662305232609449367083241411180899728275392853513848056944711418149444757596283977355493196281451548073522351148968517048568221894033720308910331652596928311617646362318652863553234284299699407378040808804168216185145562162092815512623294797442117366143278357688322959110923894363229256024376498767227141451527463325346908308541622360398699611093525897465031607205466338508318073279358405241197187426552828024951594947081417022226627887349297932991078053388355633040322273847655839381147516728785180138071212978043885276186336127125522851488565760037207533367391868586733277624808560987654979984271804559453724600397886752709556733553072687456105716032568590390912624457466971183186222702405489029256925068503340494742824158581261927036677934983779480711288730536144365034621044275118888366622296643980604671569641341637484175127339883016159856686826941364109233810820811457787047082284476809086868447671919116020313099710908092855414989172929393454124846486643562440203712155718531952992295774004038490270855445232703343
33 107.16861118427640751512335196308619121347670788140476527926471042155240382097809713461077404060904109925608275149979397134387017781529680806138883274685766577496918054906226511323462815305130017187738266498473949356639200556283856614549606853840456279438022807642594467970051950869322181358299160146827228341051315134692280992589035011650520044537278704035130941956989456077906304304156557944248846493229186924351370178717245231945759983992755446814737465873828984702935394625378884839388700983211630341502374438135212713606296273085274381133816540058435118313303685769493317002533772755142467627689464393617135348071017718599774929100275517827703297377631580533014357653884563950039276586664704331231404088827142287996188251540618942786179111036989115399525219893417512418886837492167364748745587981467347266417616774535940639016381346170450574248058644307241808103571821572938166246505344548657161897304548556560304060104904484099870985452510610700932387527995023381040447399774360661008626652595237833121137655025221117392
34 111.02953554316967452465645030994435041534596839007305684619079476550554454175989221401886129177181014708906369597111240551862630171624222857943696674801141325816083048403922446352405309723995918373837450611164816544062531268516418625245459374314394072060296302819210643628534731504522640898196290478976792186410669675661732145168145927444168687159434020220963314620385777951633556917174643825454193600209211705993589440191685842986639732131685130184895475400466778222850734688040782351292994774360354681165646017087750212848823099487317890458063339523536630454696583207600037920482061918778983091851751570073244615684910927868977801154883458987292331864058195693342274292984833059059922904324411075199609202388347929702695536068820908110052510677207258101843414525036006707598591428869165630813139748561542754448476359366633105107758610095569509275536611307144445106748858509171008525438673761477899425560891716256219079446650047992116873535337730441734148531101780117898551445685905650308087043830805977475977107060141490290
35 111.87465917699263708561207871677059496031174987338587381661941961969077836440550296762894060634744829021971896458307528781033878711361320240600484652547710125593998678995930696526783187335854868688804445617591690537299995913891630137050196672373008664177293477010854989370999589455407968390906743831706105804977083862583854507592275351709846117228051054288331569796292541744075290557396667572995313781684826614125646100111299964566838586009373533005424074275114697866690846199306244354994520801814108489991458617366177218308645929171691710321247973014538666409274842128930901622284926267902047574716995795753972187326204893814976629216852544460529653627406422981097178898856438454534536654592394165385812115671833645389648080952446592040221573661455184693262229714806017827383833263406037213533302721255320842306010104763020010558557639222000675752551493742306645441670964450202263405519964094893110032181366155555249319339861966562612490207784404479249402352290142868159590197895479350401889029123177980699790549972964547322
36 114.32022091545271276589093727619107980991765772382989228772843104130628757585284322976204949831708992951020539301638758314305591903277461720319201185733065199866909802277857022671480665694348042617522942289242847273691049414639981956180073976360650348024912526826127457922031477701599707962018473128259790684567722772520063694411080201386695307813661116200691226400380407146684417237324538785106786986960332157428070989640872474167387485028343340640768042091230109547075056900809263627754584627458496854347396782292811286994763448234839875336438123300610960256297393555121990247067487110183008662950648234327683747032747556138428982774249300088065889950545738978546093537846168953866149175625542973061099985335715836442455092444076647459703386633736366171539687488368528794980810988950225881356519910889995277241307695360980745790378673016735578144538072975489432574989193987764107477514600480608778070213613915891897231619453977050973324774345312396053602960427924193590100537134986709642177872291319480799990557580702672437
37 116.22668032085755438216080431206475512732985123238322028386264231147470097947562206017603733624390027523463469395685459535566753084131104210786654347857856549208458847671927425079606830719324620738704609982155900182878881054713771844042443210004039836559974049783647901509933036640527286761745126364266883130011797418534369934291261115769223602563544458945335717050584212952564807783098106814372219033256623421509342767175396008074323366680139111990483339854064668919076549511373786797168577899586787368289379330988236572114256895304735541249122415300488472765878415641262162650590958990276047700473899649274894017204208985107405754400234328544038540199022702452052222245117573658246671621476076317887430171933353904756699260924920890930312983303124893117653338878512847253721392220057264694201114482617888336113487685896541760282320600142746274307751408266196474596679850339102891297637738166944059130416674162324668727133516506745324250826607039807599132275857163922259992720562775413896994505569695376637337719442405772769
38 118.79078286597621732297913970269982434730621059280938278419371651419909632211177349955749911593215182625652629305616199483194925480075438771266309745255588901763999000066406870469228744264103612542588279863299478257351164658948272602425877312945740522772497995204301745427848015902512970939056807956998301992177069479603918291102831901173350562459762022570459196407204162383409811649646776205705219716141840214124656739528280543491991142308932349073508039733804110206541806590990884469507620412103543038880223854491865686742485533014818100395384644127161997266548624434684271259571354216481533251473272060344780160378480938711380804478821024924780315479588222934086454906470849496605815991734645686224734504629892176865895308367486302956436089334540715142741635374352794306345642572052504231299777176566328351816396608888566314316924189090816158861802646676327210288974023810344653395348644267757051828061602833806400512170296016896659896467432096732504060436521903426269678180565907173130182706019516732253980229710999812679
39 121.37012500242064591894553297049992272300131063172874230257513263573463204165139220905939384433014279218196569590681076630067724740143908725903805690148393133902601698813676038329236176599622291993140249543574187933997813731330369095597833008268913363317300244702971439498137917944877313393749455346414723890982274081524520595119579928709523096553126574014368035615037063172621321722322764776919926657995258658523437057245447063514170393802560391824843827894216735242608625502056390469711490436348166338839157894075685064310624274268866976707128379506415008085204391847840187048352036552012977367894845710173376630320177708676274991167311429204844861203065312816745789441584708836967206704499697496378106645297411089515250746896867060183740053112266785249613369159477221158694824202126300759886156187545685691590888071713567123093917008157964775223046234064516190057314686554417612385232043596263858621321301819425521351034974212212052847454804591420077213253105647767556042218133781665184411918682208149379740128201166296601
40 122.94682929355258820081746033077001649621438987386351721195003491528850877588261964305531184110741044275819391116321568595657788973892309940523027021372279073996890486016349584618323245618501893151625499047370304095762277690759590063843307644606124182847823756441809201559084453668658419109538596997982712844078953177501225586806560564040149727054307541851511322368339857032043818793893337256283939796656055984357707004585719384591306785901717156008789671104995148816290633005657458274893449612844379952885831230824376136519882615899988960073016424282594491455685363934047984680307219163309312852814991967823252600329361418529660295364829122567840165981961848405957936100660048007492722473657847866288570231289551911119908298650297154372516995791295464880438818970119213623248616194715977071620173059437613987551212830340057623718122969124719377194978464504204090945732975702241166777277644725050897979306694946134179556614984962501973741009957985884129999524939517352135906186261482381478180916150306077483908429905459215754
41 124.25681855434576718473200796612992444157353877469356114035507691395906209728936178009090182253373913262830799853113478097950652811031685098172578262282995094942493457372254487875998479159580112728439835531494294951197660865779113281699645997305448829741377442730860887467330096067911411302469950817608528567995143662292475731833331205841137378656171647550619831967486170732623449223581462896837366322138911627212544147168721563355973085772671739553055855349909286602117588048512436978467752970304636862611567484713691769236984990378752086055884066118851953042076806468343302135795043781791713076624914764250188269400492412488234277072762436071713043446469629378325808701719217281340613601879251884020368578364153368269138152447632203563031007080924633699475837525836513099487365745603269853041212388752086893635909238063319483328517810256509047379358846107926196733492103174318906850260108104088495715467661949041660039078031685121183709793418223594587661775195821686704072869632817229884917429232237278779274121409967144241
42 127.51668387959649512427932376690607626808830988155498248279977930068239612852598832920878360012462376147619135078475542859452982290708966652919876573660201179158088524145460331186757380209388882805009962343999378721821946219982088691529154412255795519306900858454924322810048155102909283014529321625753611912247487515967319742640788428436142060094099362934031076034971587518881087640395119922377418482423742089314891568734603459382211103796402403028963771045303178675588327918420707573209611835951182354252248929938349924498301394758857073537565430067184037098423977548777383381689957021507493300078283754444341770970963432413245923946143512034775248720526013201903750214573023693613001816790454531119697897368431733213501855367394956494471194658595129788426910399667321571647174164250162851191221126362503595637171685656518260280412687545302495997697727742974038357699963230701551900658096970380111267841342649576177236514928274463189615718543441115847648195733677001531606080985339275047578682952995706475438672918733174666
43 129.57870419995605098576803390617997360864095326465943103047083999886089910511656558151491773392658145056014450760906720054220213667375218632115815237888208240391534447630209592410969822933378358442568743992445734917080842896164381211554708151651681065822852549977572323246172206799311829807820774409642415649580856842536142719700211578403999257511820752537539386435379199145679643614499560063434479549596954523896711235627171130133494985828613101033013359742103036773435541950661243461750976869153427479450613574462504606926111895797343470217446621151414044220825547613994285809648550402843693208394810193389068407844671898525438377588951957514607241177653417533855793386104007387277992304905139314071412626967679922064467848213351556201163865970340495719848605810964804274157224234179231903139010566044683128915157855631295075047885733459957810061077508603675477967862451856069097607202670301176207696523560168335264915361448451775201397355227439179257882315426313791385214176828831460652747846108563252146613954037265413890
44 131.08768853093265672356637246150134905920354750297504538313992440777476524562001528156549134141247018653382540600310236141622566775945765970268922941153987771540206262601763981088215457328563606704291925983619181653449500944433780586762866984944610304867497875133259737691631820985687196491761633790695954368811527730999818233995800556579253023528867667594101597368609517852196059068296901813487577888845993406081904786120909315213636850291118220566266873188961740358288823656561468083152745382169414816847111057120886871336283636075868951447495968783796718500509529533149145755657780100437734467302480295633745038605746772026118540647691622911076047024508461070082532180073359738646721052307523629923614284387868776238125995254704953741765786390769678439017971434902438454641433628797558487807501263361364678943650316210774481943257955893569402456237010782134900235178972901238846456343517721448996639365622033419703012702087498626555403091181671611573494560119822600545215574683092070744119729982911221363944514659283775159
45 133.49773720299758645013049204264060766497417494390467501510225885516301360078474264135928795031508954812973993946634992296302589872808119018997225143382272260764756142186424438576676312440618205408738011705728516786939066089591822961288421582216053345115093234986615990775207526828815747516311057919532922465099804725892098631183430222579719117673406631194556069662635747884590617675213084324297216032177731382387742648138287225227217885657290320580354580298506737560750769813361705139237308167485483902127163456840819736395097840884886558902911072923345787461955213583994133637703242377836743836548328380507736911215843952011404378395562972611469430577401271922244665443621524165960936329474766689054409810048093530983644088914336342644872556544261239563213158904536106936722878106378792172493250756637202894876430548821611233444479026448085238118306358946756625953772483151694246619923708560153860970599248663088801281535730146165074142067214937138647839110176661535143259179079596786219676708905160481713968914792629692752
46 134.75650975337387133132606415716973617839606861364716441697609317354841005683171043236880490592603275067781834239468122396623140998301664259972437910950044611563374533160214446365696682771761580046548733954885763229601523371761892123487350849134172491748201530151554725868106210737255996971733407626357945618938902070614882790088696485713562186073337225205134715336644439784107857047498334096774118122327379808168736934091313594476970678371593914813598873604249472823375475252439381663714321954682557923794745775814657161701612717049057797096387287011011676882741582064229927808162479735923453316606764926507099127454725156643588998313669819667463727139225756575928825051490710264504475962126132004961020852395292846876807552311509951524366242755157173503197245826709452252260735850660028020596472640083231618923874011881971800430171649986218283358894185938765343950214018129601575443030236592974870856090977049804543656335695489160858189221758080453026221219029979370639682433099744511199878556852952986805664957014943036036
47 138.11604205453344320019155519028244785983527462414623568534482856865016723043040891711094527218774535934777667427839457294768357640401262345505881966047523675315800324677390782635018273231595887566620500515884625188572654968387720535857419714178269636659696448320324322592482872817752937747810830000713375030579008257381328461668899101346738329345745397321694650092388953237212426476812262261342427058230266831315146560461524259429472180516097770531320769599675556802663486999569801368213055347487269845122579582508748207957272413859176548038043600117596662769287803720520384026349708957751771524144383640452213591582348222122199004679863649191094235653370348297431433389264971616665259351733742102635101543689941965390688229575755813185855939525001308098549542108268576432319662677018780980279474412866938223992126969281345964418322440590636741762932726734299779117628883124307640231544927173957375498777590803201522759897195308188136828555008405977283212132191717145299766616911122296640933702560491284523999775686894461833
48 139.73620895212138895045004652338246084679005256538260308137013541090386809148527196609290365678559641877599548848303035143142827923412151448162392776536515493888673956700236048189563618358436811724345362663243187150565600105504262433164295449438690889978945102305781924608707052055648974796686880994817191367311382164686326858179234312318112257298980472060897130630327019248280328337059010951260323303718106598886627545354025367659129927983932427246170133151256313106239869654795504567849033539888278676572796723836977406753290769987708507871744946450200607979870923804324106464909623722536073966555272825754496801719264896537991017818986078555735562575776190970690419936345259766812448982430261418812663759385636028171882536362351252033141635785798181871316065631519435071131298363586818238641988756713126084674876684302888284419452598150192124292570356644438048095110828970841279741951868755463637174732053385483083497075275302475418034821501182799855584338566359661725197309848394110642831816204172602006689864620908677891
49 141.12370740402112376194035381847535509030066087974762003210466509596609475871813327814934185093804684178932840163627286415900251242134703092946888290631270747518370542731293313157576843048596363959036968951680185736679684156160529825423246711982907047029842570226375123408126272786851492862863568174532790714060795064996956448446328337252905364608813293453968260357014644043301994694364790233758682136169496506490884205493664942464480623409317560589265172628739153171627585744223233310793772090064339163884211333761505237315119128593734178426920802197633759778739287329674525431827571459642147294257560268009032129155891704423858052850278832869622944777294783494529788991648300149180935982748256671432249040173253614574158138296170922667375162144168477378804520364420492918668053928416551612405610099135739644195387749150207639109029912629024400475635344881905193152396683404854370280854956932650755708937644012267188835174405570947166467235290773510154615033257991645006876375162004213994575849705508592280942041324220026717
50 143.11184580762063273940512386891392996623310243035463254859852295728069314413334922754442740251369840493347095905849562753206657759928145921743179755757442217732760413478793875513061673201625857508480382236726360872374597204053489223023080971180430390278335474580551995615618065609270066173336329973431665248251849942374264774441501678438741414035207815327346431309089298096379801560887217559668027261265742093912843363793335208094866774710956758770162161528411554156325947882443458095343956557754101402641512748522091837667678437897400829535125370456711605333453649254640240643579057813238760071488556195684879655887329708869899315039857644243370527305236175496774857504736292863925937352370397174501211482454889697296184429277712661285106725073406877718521638878039398776122473256409828908127422713507635656929181523272789024324645970112022555125823444757080797126803772748834208664312126039988657860205550037652906380821395700044478159548877259655584457709969370581842249318587753595912267651818263242412838799627048197794

List of Lehmer pairs

Complex domain colouring showcasing the Lehmer pair of nontrivial zeros and which are separated by a distance of about 0.0377.

A Lehmer pair is a pair of nontrivial zeros that are unusually really close to each other.

List of zeros with a distance from each other less than 0.1

Up to 9 decimal places each.

Zeros Distance Imaginary parts Image
4765 0.043254060 5229.198557199 Complex ζ(z) dc lehmer 4765-4766.png
4766 5229.241811259
6709 0.037698499 7005.062866175 Complex ζ(z) dc lehmer.png
6710 7005.100564674
11204 0.076595005 10898.874562142 Complex ζ(z) dc lehmer 11204-11205.png
11205 10898.951157147
11476 0.080642227 11127.589346742 Complex ζ(z) dc lehmer 11476-11477.png
11477 11127.669988969
12166 0.074060912 11705.635162597 Complex ζ(z) dc lehmer 12166-12167.png
12167 11705.709223509
12790 0.088590558 12224.654704198 Complex ζ(z) dc lehmer 12790-12791.png
12791 12224.743294756
16767 0.067816262 15471.550786958 Complex ζ(z) dc lehmer 16767-16768.png
16768 15471.618603220
17446 0.081585672 16016.532433929 Complex ζ(z) dc lehmer 17446-17447.png
17447 16016.614019601
18385 0.077589156 16766.396159422 Complex ζ(z) dc lehmer 18385-18386.png
18386 16766.473748578
18859 0.035307321 17143.786536184 Complex ζ(z) dc lehmer 18859-18860.png
18860 17143.821843505
19140 0.060604954 17366.517185120 Complex ζ(z) dc lehmer 19140-19141.png
19141 17366.577790074
19963 0.076999661 18017.828313577 Complex ζ(z) dc lehmer 19963-19964.png
19964 18017.905313238
21026 0.092195767 18854.083031118 Complex ζ(z) dc lehmer 21026-21027.png
21027 18854.175226885
21521 0.075562612 19242.093937084 Complex ζ(z) dc lehmer 21521-21522.png
21522 19242.169499696
21595 0.079358700 19300.136082971 Complex ζ(z) dc lehmer 21595-21596.png
21596 19300.215441671
21977 0.085850138 19598.759683163 Complex ζ(z) dc lehmer 21977-21978.png
21978 19598.845533301
23725 0.083279461 20958.180836761 Complex ζ(z) dc lehmer 23725-23726.png
23726 20958.264116222
24199 0.051644294 21324.943978943 Complex ζ(z) dc lehmer 24199-24200.png
24200 21324.995623237
25000 0.068671164 21942.592430134 Complex ζ(z) dc lehmer 25000-25001.png
25001 21942.661101298
25095 0.044451823 22016.007862318 Complex ζ(z) dc lehmer 25095-25096.png
25096 22016.052314141
26010 0.086568632 22719.112551203 Complex ζ(z) dc lehmer 26010-26011.png
26011 22719.199119835
26096 0.086914788 22784.914043607 Complex ζ(z) dc lehmer 26096-26097.png
26097 22785.000958395
26577 0.059259854 23153.514967223 Complex ζ(z) dc lehmer 26577-26578.png
26578 23153.574227077
27783 0.068593919 24073.771399819 Complex ζ(z) dc lehmer 27783-27784.png
27784 24073.839993738
27925 0.045107489 24182.103127265 Complex ζ(z) dc lehmer 27925-27926.png
27926 24182.148234754
28214 0.069270569 24401.769669920 Complex ζ(z) dc lehmer 28214-28215.png
28215 24401.838940489
29377 0.083642557 25284.095550708 Complex ζ(z) dc lehmer 29377-29378.png
29378 25284.179193265
29933 0.062478883 25704.524776174 Complex ζ(z) dc lehmer 29933-29934.png
29934 25704.587255057
Advertisement